Waclaw Sierpinski Contributions To Fractals Forex

Benoit B. Mandelbrot Waclaw Sierpinski Mandelbrot y Sierpinski son dos matemáticos que hicieron contribuciones importantes en el campo de los fractales. Waclaw Sierpinski vivió de 1882 a 1969. Fue uno de los matemáticos polacos más famosos. Echemos un vistazo a un descubrimiento que lleva el nombre del triángulo de Sierpinski. Lo encontró mientras buscaba la topología. El Triángulo Sierpinski tiene todas las propiedades de un fractal: Por favor, habilite el script java y obtenga flash para ver esta animación Un fractal es una forma geométrica que es auto-similar y que tiene una dimensión fractal. Selfsimilar significa que cuando usted mira una parte más pequeña del fractal, todavía mira alrededor iguales. Por ejemplo, puede magnificar el Triángulo de Sierpinski tanto como desee y todavía se verá aproximadamente igual. Una dimensión fractal significa que no es sólo uno, dos o más dimensiones, sino algo intermedio. Un ejemplo perfecto de esto es la frontera del triángulo de Sierpinski. Echa un vistazo a la animación que muestra cómo se crea. Para dibujar un triángulo de Sierpinski, comience con un triángulo equilátero. Luego, se corta un triángulo que tiene sus esquinas en el punto medio de los bordes de los triángulos originales. Lo que te queda son tres triángulos más pequeños. Ahora haga lo mismo otra vez con los triángulos más pequeños. El corte se llama iteración. Una iteración es un paso que hace una pequeña parte del trabajo y se hace una y otra vez para obtener el resultado final. La forma con la que te encuentras, el triángulo de Sierpinski, tiene un borde que tiene una longitud de infinito: cada vez que repites el proceso anterior aumentas la longitud del borde por la mitad más que lo que hizo en la última iteración En papel). Ahora, si usted tiene un triángulo regular, puede describir fácilmente cada punto que se encuentra en el borde del triángulo con un número: Por ejemplo, la distancia que tiene que viajar a lo largo del borde a partir de una de las esquinas en sentido horario. Pero ¿cómo se puede hacer esto con el triángulo de Sierpinski? Hay algunas maneras de ir a lo largo de la frontera del triángulo de Sierpinski de una sola vez, una que puede ver a continuación que se ejecuta en un triángulo de Sierpinski que se ha dibujado en 5 iteraciones: Y obtener flash para ver esta animación Pero, por supuesto, un triángulo de Sierpinski dibujado a cinco iteraciones no es un verdadero fractal, porque cuando empiezas a hacer zoom en youll muy pronto ver no más autoimagen sino sólo grandes áreas de blanco y negro. Para obtener un verdadero fractal, se necesitan infinitas iteraciones. Entonces, ¿cómo puedes describir un punto que está en el borde del triángulo de Sierpinski? Puedes intentar hacerlo como en el triángulo regular: usa un número que dice hasta dónde tienes que moverte en el camino - como lo ves arriba - a llegar al punto. Pero hay un problema: la distancia hasta cierto punto depende de cuántas iteraciones se usaron al dibujar el triángulo. La distancia puede doblarse fácilmente si haces un par de iteraciones más. Y para un triángulo de Sierpinski con iteraciones infinitas, la distancia que tienes que recorrer será infinita para cualquier punto dado. Por lo tanto, puede probar dos números para mostrar la ubicación de un punto, por ejemplo, mediante el uso de un sistema de coordenadas. Así es el borde del triángulo de Sierpinski dos o un pozo de una dimensión, para describir un punto en el que se necesitan al menos dos números, por lo que de alguna manera su dos dimensiones, pero aún, un borde es sólo una línea sin ningún grosor, Ese sentido tiene una dimensión de 1. De esto está claro que la frontera del triángulo de Sierpinski no tiene una dimensión de uno o dos, sino una dimensión de no interger entre uno y dos. Usted puede encontrar muchas estructuras fractales en la naturaleza. Un buen ejemplo es la coliflor. Un pedazo de ella se ve igual que todo el asunto. Se puede notar fractales en las costas, montañas, nubes, árboles e incluso en los helechos Benoit B. Mandelbrot nació en 1924 en Polonia, pero se trasladó a Francia cuando tenía doce años. Él investigó en las estructuras del fractal y era el uno para definir sus características, y para introducir el sistema de Mandelbrot. También conocido como el insecto de Mandelbrot, que es uno de los fractales más populares. Usted puede hacer fractales fuera de cualquier forma. Un fractal se hace copiando y alterando la imagen de entrada. Un ejemplo muy simple es un árbol pitagórico. Como la imagen de entrada tomamos un cuadrado y adjuntamos un triángulo rectángulo que comparte su hipotenio con un lado del cuadrado. Entonces añadimos un cuadrado a cada uno de los otros lados del triángulo. Ahora hacemos lo mismo con los cuadrados más pequeños que con el primero. De esta manera podemos seguir adelante para siempre. Podemos repetir esto al infinito Como resultado obtenemos el árbol pitagórico de hojas. Vamos a cambiarlo ahora un poco: en cada nuevo cuadrado vamos a voltear el triángulo derecho. Como resultado obtenemos el Árbol Pitagórico Conífero. ¿Sabía usted que para cada iteración la suma del área de los cuadrados añadidos es igual al área del cuadrado original? Usted puede demostrarlo fácilmente con el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras demuestra que el cuadrado A más el cuadrado B es igual al cuadrado C. Así que sabemos que los cuadrados A y B tienen la misma área que el cuadrado C a la derecha. Ahora bien, puesto que asup2bsup2csup2, sabemos que en la imagen de la derecha, ambos cuadrados verdes A y B añadidos tienen que tener la misma área que su correspondiente cuadrado C. Y dado que los cuadrados rojos A y B (los cuadrados verdes C) El cuadrado grande C, podemos concluir que todos los cuadrados verdes agregados tienen la misma área que el cuadrado grande C. De esto podemos concluir que esto es verdad para cada paso adicional que hacemos cada fila de cuadrados del mismo color agregados juntos Es igual al cuadrado grande C. Lodes Tutorial de los gráficos de computadora Sierpinski Fractals Índice Introducción Hay bastantes fractales nombrados por Waclaw Sierpinski, matemático polaco que vivió a partir de 1882 a 1969. Éstos incluyen el triángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski, el Sierpinski Pirámide (la versión 3D del Triángulo Sierpinski) y el Cubo Sierpinski (la versión 3D de la alfombra Sierpinski). Las cifras 2D se describirán aquí. Triángulo de Sierpinski El Triángulo de Sierpinski, también llamado Sierpinski Gasket y Sierpinski Sieve, se puede dibujar a mano como sigue: Comience con un solo triángulo. Este es el único triángulo en esta dirección, todos los demás estarán al revés: Dentro de este triángulo, dibuje un triángulo al revés más pequeño. Sus esquinas deben estar exactamente en los centros de los lados del gran triángulo: Ahora, dibuja 3 triángulos más pequeños en cada uno de los 3 triángulos que apuntan hacia arriba, de nuevo con las esquinas en los centros de los lados de los triángulos que apuntan hacia arriba: Ahora hay 9 triángulos apuntando hacia arriba. En cada uno de estos 9, dibuja de nuevo triángulos invertidos más pequeños: En los 27 triángulos apuntando hacia arriba, dibuja nuevamente 27 triángulos apuntando hacia abajo: Después de pasos infinitos, y si todos los triángulos apuntando hacia arriba se llenan, tienes el Sierpinski Sieve. A cada paso hay que sacar más triángulos. Este es un proceso recursivo, y se puede dibujar de la misma manera con una computadora. Con Recursion Well ahora programe que lo que fue dibujado a mano en la computadora, haciendo que una función de dibujo de triángulo se llame nuevamente 3 veces, hasta que se alcancen n pasos de recursiones. Este programa está hecho para que funcione para cualquier triángulo inicial, no tiene que ser simétrico, la única condición es que las esquinas se encuentran dentro de la pantalla. La función principal configura la pantalla y llama a la función drawSierpinski. La función drawSierpinski solo dibujará un triángulo: el inicial que apunta hacia arriba. Entonces itll llamar a la función subTriangle, y que es la función recursiva real, thatll dibujar todos los triángulos al revés. La función subTriangle dibuja un solo triángulo invertido, con las 3 esquinas que se le dan con sus parámetros. Entonces itll se llama 3 veces otra vez, para dibujar 3 triángulos más pequeños. Para estos 3 triángulos, se utilizan, por supuesto, nuevas esquinas, y éstas deben calcularse. En la siguiente imagen, si el triángulo negro es el triángulo grande que ha dibujado la función subTriangle, entonces los 3 triángulos rojos son los nuevos que tienen que ser calculados: Las esquinas del triángulo grande son a1, a2 y a3. Las esquinas de uno de los triángulos más pequeños son b1, b2 y b3 como se puede ver en la imagen. Si vemos todos estos puntos como vectores, las fórmulas de los puntos b (con los puntos a conocidos) son: b3 (a1 a2) / 2, porque b3 se encuentra en el centro entre a1 y a2, este punto es el promedio De a1 y a2 b1 b3 (a1 - a3) / 2: si se examina bien, veremos que el punto b1 es la suma del punto b3 y el vector (a1 - a3) / 2, está dividido por 2 porque el correspondiente Lado del triángulo más pequeño es la mitad de grande. B2 b3 (a2 - a3) / 2: esto es muy similar a la otra fórmula, pero con el otro lado. Para los otros 2 pequeños triángulos, algo similar se hace. En el código, no estamos usando una clase vectorial, por lo que xyy son variables separadas, y debido a la forma en que funcionan las adiciones vectoriales, simplemente tenemos que hacer la misma cosa dos veces, una vez para xy una vez para y, con el mismo Fórmulas. Para las coordenadas de las esquinas triangulares, los números de coma flotante se utilizan para mayor precisión. Con este conocimiento el programa se puede hacer, los comentarios en el código a continuación le explicará cómo funciona: Heres lo que ves después de ejecutar el programa: Con AND El método dado anteriormente es sólo una de las muchas maneras de dibujar triángulos Sierpinski. Una de estas formas es con el operador AND. Si tomas de un píxel la coordenada x como un entero y la coordenada y como un entero, y usas el operador AND en ellos, si el resultado es 0, dibuja un píxel de un color, de lo contrario otro. A continuación, verá un triángulo Sierpinski emergente El operador AND en dos enteros, toma ambos enteros como un número binario, y utiliza AND en cada uno de los bits correspondientes. El operador AND en bits funciona de la siguiente manera: Esto se hace para cada bit del entero, y sólo si el entero resultante está en 0000000000000000 binario, se le da otro color al píxel. El código es un bucle doble muy simple que atraviesa todos los píxeles y comprueba si x amp y es 0 o no, donde amp es el operador AND binario en C. Usando x amp y dentro de una condición if, itll sólo será falsa en el Caso x amp y es 0, y en todos los demás casos un píxel blanco se dibuja, por lo que el resultado será un triángulo negro sierpinski sobre un fondo blanco. El resultado parece mejor si los tamaños de pantalla son potencias de 2, de lo contrario se ve sólo una parte del triángulo. Con una función aleatoria Otra forma totalmente diferente de dibujar una aproximación del triángulo de Sierpinski funciona de la siguiente manera: 1) definir 3 puntos con coordenadas: a (ax, ay), b (bx, by) yc (cx, cy). Estos se convertirán en las esquinas del gran triángulo exterior. 2) definir otro punto, p (px, py) y colocarlo en una esquina del triángulo (por ejemplo px ax y py ay). 3) dibujar un punto en la ubicación (px, py) con un lápiz 4) rodar un dado teórico con 3 lados (lado 0, lado 1 y lado 2), o simplemente hacer una elección aleatoria entre 0, 1 y 2. 5) Ahora cambia las coordenadas del punto p, dependiendo de qué número rodaste: si rodaste 0, p (pa) / 2 si rodaste 1, p (pb) / 2 si rodaste 2, p (pc) / 2 6) Volver al paso 2, colocar el punto en la nueva posición de p, y seguir haciendo un bucle a través de esto hasta que se cansa, aunque todo el proceso es aleatorio, después de suficientes pasos, el resultado se verá más y más como un triángulo de Sierpinski Esto no es Demasiado difícil de codificar, los comentarios explican cómo funciona todo: Cuanto más grande se hace el valor numSteps, más píxeles se dibujarán. Estas imágenes muestran el resultado para los pasos de 1000, 10000 y 100000: Al jugar un poco con las fórmulas se pueden obtener otras formas, como por ejemplo esta: Gotten cambiando algunas de las divisiones a través de 2.0 en divisiones a través de 3.0. Con Rectángulo de Recursión Otra forma de dibujar un Triángulo de Sierpinski es con una función recursiva que utiliza rectángulos. El proceso de recursión funciona de la siguiente manera: Cambie cada rectángulo en forma de L: La forma L en sí consta de 3 rectángulos, que se convierten nuevamente en forma de L, etc. Si sigue haciendo esto lo suficiente, se verá más Y más como un triángulo de Sierpinski. Esto es otra vez algo que se puede programar con una función recursiva, bastante similar al código recursivo dado más arriba, pero este los rectángulos de los tiempos se dibujan, y las nuevas coordenadas para 3 rectángulos nuevos tienen que ser calculadas cada vez. Heres el resultado de 3, 5 y 8 recursiones: Para estudiar la recursión un poco mejor, tratar de ver lo que sucede cuando la función drawSierpinski se llama a sí mismo sólo 1 vez en lugar de 3 (las otras 2 llamadas se comentan): ahora, si maxRecursions Es 8, sólo se dibujan 8 rectángulos, cada uno más pequeño que el anterior: Ahora, habilitamos dos de las llamadas a sí mismo, y ya se están dibujando más cuadrados, pero la forma no es tan compleja todavía. Ahora a la derecha hay 1 cuadrado grande, a la izquierda de él 2 medias cuadras, a la izquierda de esos 4 cuadrados 1/4, a la izquierda de ese 8 cuadrados 1/8, y así sucesivamente, con a la fila más a la izquierda 128 cuadrados que son 128 veces más pequeños Que el cuadrado grande de la derecha. Y finalmente, si habilitamos las 3 llamadas a sí mismo, obtenemos el Triángulo de Sierpinski, y se dibujan tantos cuadrados que casi todo es blanco: Hay incluso otra manera de obtener un Triángulo de Sierpinski: con un autómata celular, pero esto podría ser cubierto En un artículo posterior. Alfombra de Sierpinski con recursión del rectángulo Un fractal diferente es la alfombra de Sierpinski. Para dibujar uno a mano, comienza con un cuadrado blanco, y luego dibuja un cuadrado negro en el centro con cada lado 1/3 del tamaño del cuadrado original: Ahora, alrededor del cuadrado negro, son 8 cuadrados blancos. En cada uno de estos 8, dibuja de nuevo un cuadrado negro que es 1/8 más pequeño, y en los 8864 nuevos cuadrados blancos, hazlo otra vez: Sigue haciendo esto hasta infinito, y obtienes una alfombra sierpinski Para dibujar, podemos usar Una función recursiva que es muy similar a la utilizada para el triángulo sierpinski con rectángulos, pero ahora la función tiene que llamarse a sí misma 8 veces en lugar de sólo 3, y el uso de diferentes coordenadas. Las coordenadas x1, y1-x2, y2 se dividen en 9 secciones, en el centro se dibuja el rectángulo con rect, y las otras 8 se utilizan como parámetros para las llamadas drawCarpet del siguiente paso de recursión. Y heres el resultado para 6 pasos de la recursión: Si usted quiere un más grande, utilice una resolución de 729729 pixeles y de 7 recursions. Con números ternarios Theres también un método para dibujar la alfombra de Sierpinski thats similar al método de AND para dibujar el triángulo de sierpinski. Es decir, se realiza un cálculo para cada píxel para comprobar si debe o no ser coloreado. Sin embargo, este método es un poco más complejo, ya que hay que trabajar en la base 3, es decir, con números ternarios. Los números ternarios tienen dígitos que pueden ser 0, 1 ó 2. El método funciona de la siguiente manera: Tome las coordenadas del píxel como enteros escritos en notación ternaria. Para cada dígito, compruebe si NO los dos dígitos correspondientes son 1. Si esto nunca sucede, entonces el punto pertenece a la alfombra. Para encontrar el primer dígito ternario (el más a la derecha) de un número, el módulo lo divide aunque 3 (la división del módulo a través de 3 trabaja como sigue: 030, 131, 232, 330, 431, 532, 630, 731, etc.). Para encontrar el segundo dígito ternario, primero divida el número a través de 3 (división entera, es decir, retire los números detrás del punto) y, a continuación, divídelo 3. Para encontrar el tercer dígito ternario, divídalo a través de 9, 3. Para encontrar el cuarto, dividir a través de 27, entonces el módulo se divide a través de 3, etc. El ejemplo a continuación utiliza una resolución de 243 por 243 píxeles, por lo que tenemos que comprobar sólo los primeros 5 dígitos ternarios de las coordenadas de píxeles, ya que con 5 Los dígitos ternarios se pueden representar todos los números de 0 a 242. La condición en el if, se escribe en muchas líneas, y la condición comprueba para cada uno de los 5 dígitos si NO tanto el de la coordenada x como el de la y Coordenadas están juntos 1. Si la condición es verdadera, se dibuja un píxel blanco en x, y. El resultado se ve exactamente igual que en el programa anterior, aunque éste utiliza un método totalmente diferente: Si desea aumentar la resolución, debe agregar una condición adicional para el sexto dígito (donde se divide a través de 243), etc. Por cada vez que triples la resolución. La condición que comprueba el 5º dígito (el 5º dígito ternario de la derecha) es la que es responsable del gran cuadrado negro en el centro. La condición que comprueba el cuarto dígito, es la responsable de los 8 cuadrados más pequeños alrededor del cuadrado central, etc. Si quita la condición para el quinto dígito, el cuadrado negro central se ha ido, y en su lugar obtiene esto: Eliminar por ejemplo la condición que comprueba el tercer dígito, todos los cuadrados negros del tercer orden se van mientras que todos los otros se quedan: Así que si se triplica la resolución, el cuadrado que ahora es el cuadrado central se convertirá en un cuadrado en el Arriba a la izquierda y necesitas un cuadrado negro aún más grande en el nuevo centro, por lo que necesitas una nueva condición que compruebe el sexto dígito entonces. Última edición: 2004 Copyright (c) 2004-2007 por Lode Vandevenne. Todos los derechos reservados. Waclaw Sirpenski Text Preview Waclaw Franciszek Sierpinski nació el 14 de marzo de 1882 en la ciudad capital de Varsovia, Polonia. Asistió a la escuela en Varsovia, donde su talento para las matemáticas fue descubierto rápidamente por su primer maestro de matemáticas. Esta fue la fase de la ocupación rusa de Polonia y fue un momento complicado para el talentoso Sierpinski ser educado en Polonia. Los rusos habían impuesto su lengua y cultura a la gente en Polonia en cambios radicales a todas las escuelas secundarias ejecutadas entre 1869 y 1874. (websource) El objetivo ruso era mantener el analfabetismo en Polonia lo más alto posible, así que desalentaron el aprendizaje y el número De los estudiantes cayó. Entonces, a pesar de todas las dificultades Sierpinski fue capaz de terminar su educación pre-universitaria sin problemas. Sierpinski entonces entraría en el Departamento de Matemáticas y Física de la Universidad de Varsovia en 1899. Mientras que en la Universidad de Varsovia, el Departamento de Matemáticas y Física ofreció un premio para el mejor ensayo de un estudiante sobre la contribución de Voronoys a la teoría de números . Sierpinski fue galardonado con una medalla de oro por su ensayo, sentando las bases para su primera contribución matemática importante. Debido a que no quería que su trabajo se publicara en Rusia, esperó hasta 1907 para que sus materiales fueran publicados por una revista de matemáticas. Una vez graduado, enseña matemáticas y física en Varsovia. Una vez que la escuela estaba trabajando en cerrado, entonces comenzó a buscar un título de doctorado de la Universidad Jagiellonian en Cracovia. Luego estudió astronomía y filosofía y recibió sus doctorados en 1908. De 1908 a 1914 Sierpinski dio clases en la Universidad de Lvov, seguido por tres años en la Universidad de Moscú. Después del final de la Primera Guerra Mundial regresó a la Universidad de Varsovia y pasó el resto de su carrera allí. Por todas las cuentas él era un profesor excelente. Dos fractales bien conocidos se nombran después de él el triángulo de Sierpinski y la alfombra de Sierpinski, al igual que los números de Sierpinski y el problema de Sierpinski asociado. El triángulo de Sierpinski, también llamado la junta de Sierpinski, es un fractal, llamado así por Sierpinski que lo describió en 1915. Originalmente construido como una curva, este es uno de los ejemplos básicos de conjuntos auto-similares. El triángulo de Sierpinski tiene el log de dimensión de Hausdorff (3) / log (2) 8776 1.585, que se deduce del hecho de que es una unión de tres copias de sí mismo, cada una escalada por un factor de. Si se toma el triángulo de Pascals con 2n filas y Colorea los números pares blancos, y los números impares negros, el resultado es una aproximación al triángulo de Sierpinski. El área de un triángulo de Sierpinski es cero, esto se puede ver a partir de la iteración infinita, donde se quita 25 del área restante en la iteración anterior. (Paul W. K. Rothemund, Nick Papadakis y Erik Winfree) Otra de sus contribuciones fueron los números de Sierpinski. Otra contribución que hizo fue a la teoría numérica. Un número de Sierpinski es un entero k positivo, impar para el cual los números enteros k2n1 son todos compuestos, es decir, para cada entero positivo n. En 1960 Sierpinski demostró que había infinitamente muchos tales números k, pero no dio explícitamente un ejemplo numérico. (Sierpinski, 1972) Las congruencias proporcionan una condición suficiente, pero no necesaria, para que un número entero sea un número de Sierpinski. Por supuesto, Sierpinski también preguntó cuál podría ser el número más pequeño: determinar este número se llama problema de Sierpinski. Si se resuelven las congruencias propuestas por Sierpinski, se obtiene un número k de 19 dígitos como su solución más pequeña. El más pequeño ejemplo k 78557, ahora conjeturado como el número más pequeño de Sierpinski, fue encontrado por John Selfridge en 1962. (Sierpinski, 1972) El trabajo matemático más importante de Sierpinskis fue en las áreas de teoría de conjuntos, topología de conjuntos de puntos y teoría de números. Fue en 1907 cuando Sierpinski se interesó por primera vez en la teoría de conjuntos. Sucedió cuando encontró un teorema que indicaba que los puntos en el plano se podían especificar con una sola coordenada. Escribió a Banachiewicz, que estaba en Gotinga en ese momento, preguntándole cómo ese resultado era posible. Sierpinski comenzó a estudiar la teoría de conjuntos y en 1909 dio el primer curso de conferencias dedicado enteramente a la teoría de conjuntos. Aunque Sierpinski no fue el primero en descubrir la teoría de conjuntos, hizo increíbles contribuciones al tema. En 1920, Sierpinski y su ex estudiante Mazurkiewicz fundaron la importante revista de matemáticas Fundamenta Mathematica. Sierpinski editó la revista especializada en trabajos sobre teoría de conjuntos. Desde este período, Sierpinski trabajó principalmente en el área de la teoría de conjuntos, pero también en la topología de conjuntos de puntos y funciones de una variable real. En la teoría de conjuntos hizo contribuciones importantes al axioma de elección ya la hipótesis del continuo. Estudió la curva de Sierpinski que describe un camino cerrado que contiene cada punto interior de un cuadrado. La longitud de la curva es infinita, mientras que el área encerrada por ella es 5/12 la del cuadrado. También hizo contribuciones a la topología de conjuntos de puntos que es la rama de la topología que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las estructuras definidas en ellos. Es distinto de otras ramas de la topología en que los espacios topológicos pueden ser muy generales, y no tienen que ser en absoluto similares a los manifolds. But uno de sus más famosos fue su ensayo sobre los puntos de la red. Supongamos que R (r) denota el número de puntos (m, n), m, n Z contenidos en un centro de círculo O, radio r. Existe una constante C y un número k con R (r) - 960r2 1/2, mientras que en 1923 van der Corput demostró que d